Nội dung bài viết này, mayruaxemini.vn sẽ tập trung phân tích về định nghĩa đường trung trực là gì? Tính chất đường trung trực thế nào? Các dạng bài toán liên quan đến đường trung trực và các cách giải hiệu quả. Mời bạn theo dõi bài viết để hệ thống nhanh lại kiến thức toán học của bản thân nhé!
Đường trung trực là gì?
Trong chương trình toán học, đường trung trực được định nghĩa như sau:
Đường trung trực là một đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và nó vuông góc với đoạn thẳng đó.
Tính chất đường trung trực là gì?
Tính chất đường trung trực đối với đoạn thẳng, tam giác sẽ có sự khác nhau. Cụ thể:
Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng cụ thể như sau:
- Là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với chính đoạn thẳng đó.
- 2 đầu mút của đoạn thẳng được cách điều bởi 1 điểm thì điểm cách đều đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng.
Tính chất 3 đường trung trực của tam giác
- Tính chất ba đường trung trực của tam giác thường: Ba đường trung trực sẽ cùng đi 1 điểm. Điểm này sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác.
- Với tam giác cân, đường trung trực sẽ ứng với cạnh đáy. Đồng thời, nó cũng được gọi là đường phân giác, đường trung tuyến
- Giao điểm 3 đường trung trực trong tam giác vuông chính là trung điểm của cạnh huyền.
Cách vẽ đường trung trực
Để vẽ một đường trung trực cho đoạn thẳng AB đã cho trước bạn chỉ cần:
- Vẽ ra đoạn thẳng AB
- Xác định ra một trung điểm I của đoạn thẳng đó
- Kẻ đường thẳng D vuông góc với đường thẳng AB tại điểm I.
Lúc này, D là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Một số dạng toán liên quan đến đường trung trực
Các dạng bài toán thường gặp về đường trung trực thường là:
Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng là gì, ở đâu?
Đây là dạng buộc học sinh phải tìm ra cách chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng. Với dạng bài này, bạn có thể áp dụng phương pháp giải chứng minh D là đường trung trực của đoạn thẳng đã cho trước đó. Khi bạn chứng minh được D là chứa điểm cách đều khoảng cách giữa A và B thì có thể khẳng định được D là đường trung trực.
Chứng minh đường trung trực của 2 đoạn thẳng bằng nhau
Cách chứng minh đường trung trực cho dạng bài toán này là dùng đến định lý:
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều 2 mút của đoạn thẳng đó.
Ví dụ:
Tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Khi bạn vẽ thêm đường trung trực các cạnh AB, AC cắt BC tại điểm D và E. Vậy lúc này, tam giác ABD và AEC được tạo thành là tam giác gì?
Cách giải như sau:
Ta biết DM là đường trung trực của AB. Từ đó, suy ra, DA = DB. Như vậy có thể kết luận ADB là tam giác cân, tại đỉnh D.
EN là đường trung trực của AC vì thế EA=EC. Vậy tam giác AEC cũng là tam giác cân, tại đỉnh E.
Bài toán về đường trung trực trong tam giác cân
Cách nhanh nhất để giải bài toán này là dựa vào tính chất đường trung trực trong tam giác cân. Đường trung trực ở tam giác này là cạnh đáy và nó cũng đóng vai trò như đường trung tuyến, đường phân giác.
Ví dụ:
3 tam giác cân lần lượt là ABC, DBC, EBC đáy là BC. Chứng minh A,D,E là 3 điểm thẳng hàng.
Giải:
Tam giác ABC cân tại A. Do vậy, AB=AC và A là đường trung trực của cạnh BC.
DBC là tam giác cân tại D. Vì thế, DB=DC, suy ra D là đường trung trực của cạnh BC.
EBC cân tại E nên EB=EC, suy ra E là đường trung trực của cạnh BC.
Từ đây có thể kết luận rằng cả 3 điểm A,D,E đều nằm trên cùng một đường trung trực là BC. Dựa theo tính chất của đường trung trực của đoạn thẳng có thể kết luận rằng A,D,E là 3 thẳng hàng.
Xem thêm: Trọng tâm là gì? Cách tìm trọng tâm của tam giác trong toán học
Bài toán về đường trung trực trong tam giác vuông
Ở tam giác vuông, giao điểm của các đường trung trực với nhau là trung điểm của cạnh huyền. Vì thế, bạn hãy dựa vào cách chứng minh đường trung trực của tam giác này để giải bài toán nhé!
Ví dụ: ABC vuông tại B. AB=6cm. BC=8cm. E là giao điểm của 3 đường trung trực tam giác ABC. Vậy khoảng cách từ E đến 3 đỉnh của tam giác vuông ABC là bao nhiêu?
Cách giải:
E là giao điểm của 3 đường trung trực tam giác vuông ABC. Vì thế, EA=EB=EC.
Tam giác ABC vuông tại B, suy ra E là trung điểm của cạnh AC.
Theo định lý Pytago ta có:
AC² = AB² + BC² = 100 => AC=10
EA=EB=EC mà EC=AC/2=5
=>EA=EC= 5cm
Dạng bài xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cách giải bài toán này là:
- Áp dụng tính chất giao điểm của các đường trung trực trong tam giác
- Áp dụng tính chất 3 đường trung trực của tam giác
Qua bài viết bạn đã nắm được định nghĩa thế nào là đường trung trực và tính chất của nó. Có thể thấy rằng, chỉ cần bạn nắm vững được định nghĩa và tính chất sẽ nhanh chóng giải được các bài toán liên quan đến đường trung trực.
